我要投搞

标签云

收藏小站

爱尚经典语录、名言、句子、散文、日志、唯美图片

当前位置:VR彩票 > 地形倾斜角 >

直线倾斜角、斜率概念的引入比较

归档日期:06-27       文本归类:地形倾斜角      文章编辑:爱尚语录

  直线倾斜角、斜率概念的引入比较_数学_高中教育_教育专区。个形成的过程.中小学阶段的数学概念和问题解决 的方法多是通过实际问题和实物模型引入的,特别 是由实例引人概念,可以反映概念的物质性和现实 性,符合认知规律,能使学生认识到数学概念是从客 观现实中抽象出

  个形成的过程.中小学阶段的数学概念和问题解决 的方法多是通过实际问题和实物模型引入的,特别 是由实例引人概念,可以反映概念的物质性和现实 性,符合认知规律,能使学生认识到数学概念是从客 观现实中抽象出来的,从而使学生体验到数学和客 观世界的联系.这就要求我们努力从学生的生活实 际人手寻找引入新知识的背景材料,为培养学生的 应用意识,数学教学应充分利用这些实际材料,引导 学生经历发现问题、从数学的角度提出问题、分析问 题并探索解决问题的途径.要特别强调学生探索知 识的经历和对获得新知识的体验.教学中,我们可 抓住一些重要概念、定理及法则的归纳推导,引导学 生经历它们的形成过程、抽象过程,从而把握其本 质.通过这些问题的分析与解决,以期达成“数学来 源于现实”的认识. 3 与日常生活及其它学科的联系,感受数学的实用价 值,增强应用意识,提高实践能力,还能培养学生认 真求实、崇尚真理、追求完美、讲求效率、联系实际的 学习态度和学习习惯.因此,加强数学建模教学具 有重要的现实意义和方法论价值. 例如,统计与概率主要研究现实生活中的数据 和客观世界中的随机现象.它通过对数据的收集、整 理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画,来帮 助人们作出合理的决策.统计与概率的知识在自 然、人文、管理、经济等众多领域有着广泛的应用,有 许多问题.诸如公司招聘、人口统计、财务管理、游戏 公平性的判断、彩票的中奖情况等都可以通过建立 统计模型或概率模型来解决. 要培养学生的应用意识,必须澄清一个误解,有 些人认为只要数学知识学好了,自然就会用,把应用 看作是知识学习的附属产品.这是不对的.学生从 知识的掌握到知识的应用不是一件简单的、自然而 然就能实现的事情,必须经过充分的、有意识的训练 和适当的总结、归纳及提炼的过程,而且这个过程是 长期的.因此,我们的数学教育必须重视数学应用 的教学,将应用意识的培养和应用能力的发展放在 重要的位置上.做到“教给学生重视应用,不仅是教 给学生一种技能,而且要有助于培养学生正确认识 数学乃至科学的发展道路的境界”. 加强数学建模教学 数学建模的问题是多种多样的,由于这些问题 涉及到我们生活的方方面面,学生在解答它们时,除 必须全面掌握数学知识外,还要具有丰富的生活常 识和较强的阅读理解能力,以及将实际问题转化为 数学问题的数学建模能力,所以数学建模更能把学 习知识、应用知识、探索发现、使用计算机工具、培养 良好的科学态度与思维品质更好的结合起来,加深 对数学的理解.学生通过数学建模,能体验到数学 直线倾斜角、斜率概念的引入比较 山东枣庄市第三中学 277100 黄丽生 1 问题的提出 示,直线的斜率是对直线的位置进行定量研究的基 础,也是研究直线性质以及直线与其它曲线位置关 系的关键.因此,教学时应帮助学生很好地理解掌握 这两个概念,而做好这两个概念的引入教学就显得 尤为必要. 普通高中课程标准实验数学教科书共有六种不 同版本,笔者对这些教材必修中直线的倾斜角、斜率 内容进行比较分析,探讨一标多本下,直线斜率概念 在内容设置上有什么差异,为什么会产生这些差异 在几何问题的研究中,我们常常直接依据几何 图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质.而解 析几何是在坐标系的基础上,把几何问题转化为代 数问题,通过代数运算研究几何图形性质的一种方 法.直线是最简单的、最基本的图形,也是第一次较 全面地运用解析几何的基本思想和方法研究的基本 图形.而直线倾斜角和斜率又是解析几何的重要慨 念之一,是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表 6 万方数据 (比如:先讲直线的倾斜角还是先讲直线的斜率)? 旨在给一线教师提供不同版本对同一内容的不同处 理方法,提供可资借鉴的有价值的思路,帮助教师在 了解、认清这些差异之后结合自己实际采取最佳方 式进行教学,力求达到最佳的教学效果.同时也对教 师提出了挑战,面对这么多的版本,教师如何做出选 择,体现了教师对整体把握核心概念的认识水平,更 考验了新课程背景下教师对数学本质的理解. 2 据定义确定的直线的倾斜角就是两个角(互为对顶 角)了. 2.2 直线斜率的定义表述及特点分析 人教A版、鄂教版、湘教版对直线斜率定义的表 述差别不大,都是用倾斜角a的正切值反映直线的 倾斜程度,定义为直线的斜率.但是给出的过程差异 较大,这种差异直接影响学生对学习斜率的必要性 的理解.比如在鄂教版中基于方程系数与直线倾斜 角关系的分析得到斜率,这样做自然吗,是否会让学 生产生在进行数字研究的错觉?另外,人教A版采用 坡度的例子是想通过类比使学生理解用倾斜角的正 切来定义斜率概念的合理性,但是这个直观例子只 能说明倾斜角为锐角的情形,倾斜角为钝角时是解 释不清楚的,因此具有局限性. 人教B版对直线斜率的定义是:..…?根据两点 六种不同版本教材直线倾斜角、斜率概念的编 写特点比较分析 为使大家深刻认识六种版本教材的不同编写特 点,下面从两个概念定义的表述及特点分析、两个概 念引入的顺序进行比较. 2.1 直线倾斜角的定义表述及特点分析 直线的倾斜角是确定直线位置的一个几何要 素.对于倾斜角的定义有静态定义和动态定义之分, 下面分别说明.人教A版与人教B版(人民教育出版 社)均采用静态定义:……X轴正向与直线Z向上方 向之间所成的角d叫做直线Z的倾斜角.……直线……;其余四种版 本均采用动态定义,分别是北师大版(北京师范大 学出版社)...…?把z轴(正方向)按逆时针方向绕 着交点旋转到和直线Z重合所成的角,叫做直线Z的 倾斜角.……直线……;而苏教版(凤凰传媒集团江苏教育出版 社)、湘教版(湖南教育出版社)、鄂教版(湖北教育 出版社)对倾斜角的定义是相同的:……把菇轴绕 着交点按逆时针方向旋转到和直线Z重合时所得的 最小正角a,叫做直线z的倾斜角.……直线……. 从以上定义的表述来看,在静态定义中,指出了 菇轴正向与直线Z向上方向的夹角,只是指出了角的 始边、终边,但角的内部不清楚,所以唯一性并不随 之确定,因此在人教A版中紧接其后给出了配套的 图形,而在人教B版则是紧接着利用斜率给出解释; 在采用动态定义中,有两点值得商榷,~是作为定 义,应该具有简洁性,按照角的分类,逆时针旋转形 成的角是正角,因此,在定义中“正”与“逆时针”两 种限定是否不能同时出现?二是苏教版、湘教版、鄂 教版的定义中,没有条件“x轴的正方向”是否欠妥? 因为倾斜角是一个图形,如果缺少这个条件,那么根 坐标首先求出k的值:k:丝二丛:笔(x.≠x:), m X2一互I ……把直线Y=kx+b中的系数k叫做直线的斜率; 苏教版为:基于坡度的分析之后,直接给出定义“已 知两点P(x.,Y,),q(x2,Y2),如果石。≠名2,那么直 线的斜率为矗=笔三聋=塞(x。≠xz),’;北师大版 石,一省I△X 为:倾斜角O。≤a<90。时,……当横坐标X从0到 l,增加一个单位时,纵坐标Y从0增加到七(k>0), 我们称k为这条直线的斜率.……通常我们把tan ot 也叫做直线时,…… 当横坐标z从0到l,增加一个单位时,纵坐标Y从0 减少到k(k>0),我们称一矗为这条直线的斜率.上 述六种定义虽然形式不同,但有着内在联系.苏教版 与北师大版的两种定义的表述虽然不同,但都是基 于对坡度的研究,借用坐标给出的(借助变化率,即 导数思想),只是北师大版用的是特殊直线的特殊 坐标,之后又予以推广,并且与倾斜角联系起来;苏 教版则更一般化,在给出倾斜角定义之后,又建立了 斜率与倾斜角之间的联系;人教B版和湘教版虽然 具体的解决过程不同,但是都避开了角,人教B版完 全避开了这个问题,利用方程的系数进行定义,并且 后续研究也都避开利用角. 2.3 直线倾斜角与直线斜率两个概念引入顺序比 较 在直线的倾斜角之前引入直线 万方数据 教B版和苏教版,其余四种版本引入直线的斜率概 念均是在直线的倾斜角之后.在除湘教版的其它五 个版本中斜率是研究直线的基础,直线方程的研究 都是基于斜率,而在湘教版中是对直线系统研究之 后对斜率进行了介绍和应用.因为湘教版有着与其 它五个版本都不同的研究方法,运用向量研究直线, 但是在向量研究之后,又给出了倾斜角与斜率的定 义.而且湘教版与其它五个版本不同,不是按照数学 1至5的顺序进行的,而是按照第一册到第五册的顺 序排列的,分别相当于数学l、4、2、5、3,也就是说在 学习解析几何之前就学习了三角函数.按照课标的 要求,必修数学l是数学2、3、4、5的基础,其余四个 模块在不影响相关联系和知识准备的条件下,学校 可以根据学生的选择和本校的具体情况进行安排, 原则上没有要求.因此在数学2的学习之前学生有 可能已经学习了数学4,具备三角函数的基础,也有 可能没学数学4,不具备三角函数的基础.于是对直 线倾斜角与斜率两个概念出现的顺序,大家就有了 不同的看法. 3 才由曲线,即直线的倾斜角定义出来的,它的作用是 为了更好地研究方程与曲线之间的关系.基于以上 分析,人教B版教材更能够体现笛卡儿解析几何中 的思想方法,即先有方程和曲线的关系后有直线的 斜率.人教B版更好地体现了数学新课程标准中的 数学课程“具体目标”对数学思想方法这一方面的 要求:“了解概念结论等产生的背景,应用、体会其 中所蕴含的数学思想方法”.但是,与笛卡儿的思想 相比,这种方法并不是完全按照学科内数学知识本 身的发展来引人的,因为中学数学概念学习并不是 要完全以数学史上知识的发展顺序来进行的,要考 虑到中学生知识水平及认识方面的原因以及数学课 程标准中的具体课程安排. 3.2 从把握高中数学课程的主线看直线斜率概念 内容的设置 整体地把握高中数学课程,是理解高中数学课 程的基点.在高中数学课程中,函数思想,运算思想, 几何思想(把握图形的能力),算法思想,统计和随 机思想,等等,这些都是贯穿在高中数学课程始终的 东西,构成高中数学的基本脉络.另一方面,这些思 想之间联系密切.它们像一张无形的网,把高中数学 课程的所有内容有机地联系起来,抓住了这张网,就 可以更好地掌握数学课程,了解实质,提高学习的效 率.著名数学家华罗庚先生常常说“既要能把书读 厚,又能把书读薄”.读厚,就是要把每一逻辑关系, 每一个细节搞清楚,想清楚;读薄,就是能抓住课程 的主线,基本脉络,抓住课程的内在联系,形成整体 认识.现在,中学教师非常重视细节,这是好的传统, 整体是另一方面,也必须重视,在一定程度上,更为 重要. 湘教版对直线斜率概念的处理与众不同,给人 耳目一新.因为湘教版用“主线”把不同模块的内容 联系起来.教材注重向学生揭示数学的多样性背后 隐藏的思想和方法的主线.教材以“向量”为主线, 把代数、几何、三角联系起来,用向量来推导三角公 式,展开解析几何,强调数形结合的数学思维方式, 并用以解决多种问题.把向量关系作为代数、几何、 三角等不同模块中许多问题的数学模型.使学生有 以简御繁、以少胜多的工具.培养学生的数学概括 能力和抽象思维能力,提高其数学素养.比如,讲直 线的方程时,特别指出一次项系数是直线的法向量 思考与感悟 从以上对直线倾斜角与斜率概念的引入比较分 析,可以看出对直线斜率的处理有三种方式,即正切 三角函数、向量、变化率(导数思想),但由于各种版 本对教材编写的理念不同,概念的呈现方式和教材 的处理方式就各有千秋.下面从数学史、课程的主 线、核心概念的把握等角度作进一步探讨. 3.1 从学科知识角度看直线斜率概念的引入 许多数学本质,只有从历史的发展才能深刻体 会(张奠宙).为此,我们从笛卡儿解析几何理论中 看直线斜率的引入.笛卡儿开创了解析几何一门新 的科学.“他的理论以下面两个观念为基础:坐标观 念和利用坐标方法把带两个未知数的任意代数方程 看成平面上的一条曲线的观念”.直线斜率的概念 就是从第二个观念衍生出来的.因为“在利用第二 个观念的时候,最初的想法,也就是首先就会考虑什 么样的曲线对应于一次方程”,一次方程中最简单 的形式就是只有变量没有常数项的情况,即“讨论 方程Y=kx,它显然表示这样一条直线,这条直线通 过坐标原点而且它与z轴所成的角a的正切值tan a 就是k”.由上可见,在笛卡儿的理论中,直线斜率是 在先有直线方程的情况下讨论其所表示的曲线 万方数据 的坐标,把直线的平行和垂直问题转化为其法向量 的问题.在后继给出的倾斜角和斜率的概念后,又在 念相关联(联系性);坡度是斜率的现实背景(应用 性).鉴于此,倾斜角不能作为核心概念,我们就能 理解有些版本的编写意图了. 最后,《课标》已将“两直线的夹角以及一直线 到另直线的角”从“内容与要求”中删除,这与《大 纲》明确将此内容作为“直线与圆的方程”的一个 教学目标不同,借助倾斜角研究两直线的夹角实际 上不如在必修4中利用两直线的方向向量的数量积 来得简明,这样处理,有利于学生对直线认识的螺旋 式上升,也有利于学生体会向量的工具性作用,这种 思想还可以迁移至线面角、二面角的计算,利用空间 向量就能按部就班地进行求角的程序化操作,这就 是为什么课标在必修2“立体几何初步”中未提到三 垂线定理或用三垂线定理作二面角的平面角的原因 了,原因是三垂线定理也不是核心概念(定理). 习题中借助角进行了研究,给出了利用斜率研究直 线的位置关系.只教了法向量这一招,就可以在直线 方程这一部分打遍天下,代替了对一大堆“知识点” 和公式的死记硬背,减轻了学生的负担,大大增强了 他们解决问题的能力. 3.3 从核心概念的把握看直线斜率概念的引入 构建中学数学核心概念、思想方法结构体系,对 提高数学教学的质量和效益、减轻学生数学学习负 担有重要意义,对中学数学课程、教材改革也有积极 的影响.强调核心概念、思想方法,可以使我们的数 学教学更好地突出数学的本质,体现数学思想方法 的精髓,有利于在教学中消除“去数学化”的倾向. 例如,“直线的斜率”概念就是“直线及其方程”一 章的核心概念,而“倾斜角”就不是,从前面的分析 我们可以看出,有的教材在运用坐标方法研究直线 时,先介绍斜率的概念,后引入倾斜角的概念,甚至 有的教材直接没有倾斜角的概念,只要稍加分析,就 能找到其中的原因. 首先,这样做是突出用代数方法研究几何问题 的过程,加强代数运算能力的培养.用代数方法讨论 直线与直线、直线与圆和圆与圆之间的关系可以提 高学生用代数方法处理数学问题的能力.以苏教版 为例,根据“两点确定一条直线”可知,两点就可刻 画直线的倾斜程度,联想“坡度”刻画直线倾斜程度 V —V 参考文献 [1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(试 验)【S].北京:人民教育出版社,2003. [2] 中华人民共和国教育部.全日制普通高级中学数学 教学大纲[S].北京:人民教育出版社,2002. [3] [俄]A.D.亚历山大洛夫等.数学它的内容,方法和 意义[M].北京:科学出版社,2001. [4] 严士健,张奠宙,王尚志。普通高中数学课程标准解读 [M],江苏教育出版社,2004. [5] 徐稼红.高中课程标准实验教科书必修(苏教版)教 学问答[J].中学数学月刊,2007,5. [6] 薛红霞.普通高中课程标准实验数学教科书比较研 究[J].教育理论与实践,2008,4. [7] 章建跃.“中学数学核心概念、思想方法及其教学设 计研究”课题简介[J].中学数学教学参考2007,5. 的方法,就不难用式子丝—卫(记作斜率k)来表述; X2一茹1 解析几何的本质是用“数”刻画“形”,因而用数 丝—卫刻画直线的倾斜程度,符合解析几何的思 Z2一石l 想,而倾斜角本身包含了形,用它来刻画直线的倾斜 程度,就像“倾斜角相等j两直线平行”一样,看似 直观,却不能充分体现解析几何的基本思想. 其次,在建立直线方程时,倾斜角不是基本要 素,学生在后续的学习(如圆锥曲线)中,倾斜角仍 然不是核心概念.作为核心概念应该体现基础性、本 质性、联系性、应用性等特点,而斜率的概念就具备 上述特点.因为,斜率是刻画直线方程的基本要素 (基础性);函数在某点处的导数就是函数图像上该 点处切线的斜率(本质性);斜率与变化率、导数概 作者简介 黄丽生(1973一),男,山东师范大学数学教 育专业硕士.山东省初等数学研究会理事.主要从事数学教 育及竞赛数学的研宄已在30余家省级期刊上发表学术文 章100余篇,在各类数学报刊上发表高考指导文章400余篇; 主编、参编《高中数学必读》、《名师手把手辅导》等著作20 部;2003年参与“十五”规划教育部基础教育课程教材改革 子项目“校本教研队伍能力建设”的研究工作,已取得了阶 段性成果.个人学术成果曾在山东曲阜师范大学主办的《中 学数学杂志》(2004,5)“新秀近作”栏目中报道. 9 万方数据 直线倾斜角、斜率概念的引入比较 作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 黄丽生 山东枣庄市第三中学,277100 中学数学杂志(高中版) ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(GAOZHONG BAN) 2010,(3) 0次 参考文献(7条) 1.中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准(试验) 2003 2.中华人民共和国教育部 全日制普通高级中学数学教学大纲 2002 3.A.D.亚历山大洛夫 数学它的内容,方法和意义 2001 4.严士健.张奠宙.王尚志 普通高中数学课程标准解读 2004 5.徐稼红 高中课程标准实验教科书必修(苏教版)教学问答 2007(5) 6.薛红霞 普通高中课程标准实验数学教科书比较研究 2008(4) 7.章建跃 中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究课题简介 2007(5) 本文链接:授权使用:万方100元会员卡(WFFIH45663),授权号:f4fc3e61-d9fe-46e9-872b-9df60172b339 下载时间:2010年9月19日

本文链接:http://odontalgia.com/dixingqingxiejiao/118.html