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倾斜角与斜率

归档日期:07-04       文本归类:地形倾斜角      文章编辑:爱尚语录

  3.1 直线 倾斜角与斜率 【课标要求】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.掌握求直线.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素. 新知探究 题型探究 感悟提升 【核心扫描】 1.求直线的倾斜角和斜率.(重点) 2.常与三点共线、平面几何知识等结合命题.(难点) 3.准确把握与y轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率.(易混点) 新知探究 题型探究 感悟提升 新知导学 1.倾斜角的概念和范围 正方向 当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴_______ 向上 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 与直线l_____ 平行 或_____ 重合 时,我们规定它的倾斜角为 当直线° ≤α<_____ 180°. 0°.直线的倾斜角α的范围是____ 温馨提示:直线的倾斜角概念的理解注意三个方面: (1)直线)直线向上的方向 新知探究 题型探究 感悟提升 2.斜率的概念及斜率公式 定义 正切值 倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的__________ tan α 叫做这条直线的斜率,记为k,即k=________ k=__ 0 ;当0°<α<90°时,_______ k> 0 ; 当α=0°时,____ k<0 ;当α=90°时, 取值范围 当90°<α<180°时,_________ 不存在 斜率___________ 过两点的 直线的斜 率公式 直线 x2-x1 = k=________ (x ≠x2) x1-x2 1 新知探究 题型探究 感悟提升 温馨提示 (1)直线的斜率与倾斜角既有区别,又有联 系.它们都反映了直线的倾斜程度,本质上是一致的.但倾 斜角是角度,是直线倾斜度的直接体现;斜率是实数,是直 线倾斜度的间接反映,用斜率比用倾斜角更方便. (2)直线的倾斜角α与斜率的关系如下表: 直线情况 α的大小 斜率的 取值范围 斜率的 增减性 平行(或重 合)于x轴 0° 0 由左向 右上升 0°α90° (0,+∞) 单调增 新知探究 题型探究 垂直于 x轴 90° 由右向 左上升 90°α180° (-∞,0) 单调增 感悟提升 不存在 互动探究 探究点1 直角坐标系中的任何一条直线是否都有一个倾斜 角? 提示 在吗? (2)不垂直于x轴的直线l的斜率的大小与在l上取的两个点 有关吗? 提示 (1)90° 不存在 (2)无关 是. 探究点2 (1)与x轴垂直的直线l倾斜角等于多少度?其斜率存 新知探究 题型探究 感悟提升 类型一 直线的倾斜角与斜率的概念 【例1】 已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°,则 直线l和倾斜角为________. [思路探索] 直线的倾斜角的定义中 强调直线向上方向与x轴正向所成的 角,才是直线的倾斜角,因而将l与y 轴正向所成的30°角转化即可. 新知探究 题型探究 感悟提升 解析 有两种情况: ①如图(1),直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°,即直 线),直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°,即 直线)由已知角推断倾斜角,常画出图形,借助图 [规律方法] 形来解决,注意画图时要考虑出现的各种情况. (2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k=tan α在0°≤α< 90°及90°<α<180°的增减性来判断. 新知探究 题型探究 感悟提升 【活学活用1】 (1)已知点P(1,1),直线l过点P且不经过第四 象限,则直线l的倾斜角α的最大值为 A.135° B.90° C.45° (2)如图,设直线的大小关系为 ( D.30° ). ( A.k1<k2<k3 B.k1<k3<k2 ). C.k2<k1<k3 D.k3<k2<k1 新知探究 题型探究 感悟提升 解析 (1)如图,因为直线l不经过第四象限, 故当直线l处于图示位置,即过坐标原点(0,0) 时,它的倾斜角有最大值.易求得其值为 45°,故选C. (2)设直线<90°,故k1<k2<k3,选A. 答案 (1)C (2)A 新知探究 题型探究 感悟提升 类型二 求斜率及其范围 【例2】 已知直线)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围. [思路探索] 由已知画出图形,由斜率公式求出kPA, kPB,利用数形结合思想解决. 解 根据题中的条件可画出图形,如图所示, 3 又可得直线 PA 的斜率 kPA=- ,直线 斜率 kPB= , 3 新知探究 题型探究 感悟提升 结合图形可知当直线 l 由 PB 变化到与 y 轴平行的位置时,它 ?4 ? 的倾斜角逐渐增大到 90°,故斜率的取值范围为? ,+∞ ?, ?3 ? 当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时,它的倾斜角 由 90 ° 增 大 到 PA 的 倾 斜 角 , 故 斜 率 的 变 化 范 围 是 ? 3? ?-∞,- ?. 2? ? 综上可知,直线 l 的斜率的取值范围是 ? ? 3 ? ?4 ?-∞,- ?∪? ,+∞ ? . 2 ? ?3 ? ? [规律方法 ] (1)由倾斜角 (或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k =tan α(α≠90°)解决 y2-y1 (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k= (x ≠x )求解. x2-x1 1 2 (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解. 新知探究 题型探究 感悟提升 【活学活用2】 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的 直线l与线)求直线l的斜率k的取值范围; (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 4-0 解 如图所示,由题意可知 kPA= -3-1 2-0 =-1,kPB= =1. 3-1 (1)要使直线 l 与线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率 k 的取值 范围是 k≤-1,或 k≥1. (2)由题意可知,直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角 之间, 又 PB 的倾斜角是 45°,PA 的倾斜角是 135°, 所以 α 的取值范围是 45°≤α ≤135°. 新知探究 题型探究 感悟提升 类型三 斜率公式的应用 y 【例 3】 已知实数 x,y 满足 y=-2x+8,且 2≤x≤3,求 的最 x 大值和最小值. y y-0 [思路探索] 化 = 利用斜率公式数形结合求解. x x-0 解 如图所示,由于点 (x, y)满足关系式 2x+ y = 8,且 2≤ x≤ 3,可知点 P(x, y)在线段 AB 上 移动,并且 A,B 两点的坐标可分别求得为 A(2, 4), B(3, 2). y 由于 的几何意义是直线 OP 的斜率, x 2 且 kOA= 2, kOB= , 3 y 2 所以可求得 的最大值为 2,最小值为 . x 3 新知探究 题型探究 感悟提升 [规律方法] y2-y1 若所求最值或范围的式子可化为 的形式, x2-x1 则联想其几何意义,利用图形数形结合来求解. 新知探究 题型探究 感悟提升 【活学活用 3】 已知实数 x,y 满足 y=x2-x+2(-1≤x≤1), y+3 试求 的最大值和最小值. x+2 y+3 解 由 的几何意义可知,它表示经过定点 P(-2,-3)与 x+2 曲线段 AB 上任一点(x,y)的直线的斜率 k,由图可知 kPA≤ k≤kPB,由已知可得 A(1,2),B(-1,4). 新知探究 题型探究 感悟提升 2-(-3) 5 4-(-3) 则 kPA= = ,kPB= =7. 1-(-2) 3 -1-(-2) y+3 5 5 ∴ ≤k≤7,∴ 的最大值为 7,最小值为 . 3 3 x+2 新知探究 题型探究 感悟提升 易错辨析 因忽略两点斜率公式的条件而致错 【示例】 求经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并 指出倾斜角α的取值范围. [错解] 3-2 1 由斜率公式可得 k= = . m-1 m-1 1 ①当 m1 时,k= 0,所以直线的倾斜角的取值范围 m-1 是 0°α90°. 1 ②当 m1 时,k= 0,所以直线的倾斜角的取值范围 m-1 是 90°α180°. [错因分析] m=1情况. 未考虑两点斜率公式运用的条件从而忽略了对 新知探究 题型探究 感悟提升 [正解 ] 当 m= 1 时, 直线斜率不存在, 此时直线 时,由斜率公式可得 k= = . m- 1 m- 1 1 ①当 m> 1 时,k= > 0,所以直线的倾斜角的取值范围是 m- 1 0°< α< 90° . 1 ②当 m< 1 时,k= < 0,所以直线的倾斜角的取值范围是 m- 1 90°< α< 180° . [防范措施] 学习定理、公式一定要注意它们的适用条件,对 k =tan α注意 α≠90°; y2-y1 对 k= 注意 x1≠x2,对不满足公式适用条件的可能情况, x2-x1 要多加考虑,不可忽略. 新知探究 题型探究 感悟提升 课堂达标 1.下列说法中,正确的是 ( ). A.直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α B.直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α C.若直线的倾斜角为α,则sin α>0 D.任意直线°时,斜率为tan α 解析 对于A,当α=90°时,直线的斜率不存在,故不正 确;对于B,虽然直线的斜率为tan α,但只有0°≤α< 180°时,α才是此直线的倾斜角,故不正确;对于C,当直 线,故C不正确,故选D. 答案 D 新知探究 题型探究 感悟提升 2.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是 A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° ( ). C.90°<α<180° 解析 D.0°<α<180° 直线°,又直线 l经过第二、四象限,所以直线.已知直线),则直线AB的斜率为 ________. 解析 由过两点的直线的斜率公式, 知直线 新知探究 题型探究 感悟提升 4.过两点A(4,y),B(2,-3)的直线 y+3 由斜率公式可得: =tan 135°, 4-2 ). y+3 ∴ =-1,∴y=-5.∴选 D. 2 答案 D 新知探究 题型探究 感悟提升 5.已知点A(1,2),在坐标轴上求一点P,使直线°. 解 ①当点 P 在 x 轴上时,设点 P(a, 0), 0- 2 - 2 ∵ A(1, 2),∴ k= = . a- 1 a - 1 又∵直线- . 3 a- 1 ∴点 P ? ? 2 3 ?. 的坐标为?1- , 0 ? ? 3 ②当点 P 在 y 轴上时,设点 P(0, b), 同理可得 b= 2- 3,∴点 P 的坐标为(0, 2- 3). 新知探究 题型探究 感悟提升 课堂小结 1.直线的斜率和倾斜角是从数和形两个角度来刻画直线的 坐标系中的倾斜程度,要理解k=tan α(α≠90°)在0°≤α <90°和90°<α<180°上的变化情况. 2.注意两个公式的适用条件,注意考虑直线垂直于x轴这种 情形,善于运用分类讨论、数形结合思想来思考和解决 问题. 新知探究 题型探究 感悟提升

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